Учебники Онлайн


Часть IX АКТУАРНЫЕ РАСЧЕТЫИ

Глава 21. Модели индивидуальных исковв.

Глава 22. Модели процесса исковв.

Глава 23. Модель индивидуального рискау.

Раздел 24 . Модели продолжительности жизни.

Глава 25. Страхование жизни.

Раздел 26 . Модель коллективного риска.

Глава 27. Динамическая модель банкротстваа.

Раздел 28. Уменьшение риска с помощью перестрахованияя.

. Соглашения страхования заключаются с целью, избежать финансовых потерь, связанных с неопределенностью появления тех или иных случайных событий. До заключения договора страхования клиент имел некоторый риск, который мог приз свести к случайным финансовых трахею X (а мог и не привести). После заключения договора страхования, оплатив некоторую неслучайную сумму р, клиент избежал этого риска. Но сам риск не исчез - его взяла на себя страховая компания. Поэтому финансовый риз зык и связанная с ним опасность банкротства объективно имеющиеся в деятельности любой страховой компании. Оценка этого риска необходима страховым компаниям для принятия важных решешень.

. Проблема финасово устойчивости страховой комании - одна из важнейших в страховании. В рамках актуарной математики разработаны модели и методы оценки финасовихризикив в деятельности страховых компаний. Мат тематической базой этого является теория вероятностей и математическая статистикка.

. В этой части учебника рассмотрены модели процесса исков, индивидуальных рисков, продолжительности жизни и страхование жизни, методы точного и приближенного анализа суммарного иска для моделей индивидуал льного и коллективного рисков, исследованы модели банкротства, введено основные величины, характеризующие финансовую устойчивость страховых компаний, исследовано влияние соглашений перестрахования на уменьшение р изику. Также вычислено оценки вероятностей банкротства ведущих страховых компаний Украини.

Глава 21 МОДЕЛИ индивидуальные искиВ

211. Дискретные модели индивидуальных исковів.

212. Структурированные модели индивидуальных исковів.

213. Непрерывные модели индивидуальных исковів.

214. Р анд ом изация распределенийів.

215. Моделирование специальных условий договоров страхованияня.

Элементарной составляющей финансового риска страховой компании является индивидуальный иск зависимости от ситуации иногда под индивидуальным иском понимают любой конкретный иск, а иногда - иск, произведу ений одной страховой соглашением. В некоторых случаях (например, при страховании жизни) сделка может привести только к одному иска. В других примерах (скажем, при страховании автомобилей) одна сделка по ча с своего действия может вызвать несколько исков. Поэтому теория риска начинается с построения моделей для индивидуальных исков. В рамках теории риска интересуются только размером индивидуального исказову X измеренного в определенных денежных единицах.

Относительно величины иска, связанного с отдельной конкретной сделке, нельзя сказать ничего определенного, кроме констатации факта, что иск или будет подано, или не будет. Однако, если мы имеем дело с большим равно оридною группой соглашений и не интересуемся судьбой конкретных соглашений из этой группы, то находимся в рамках теории вероятностей как науки о массовых случайные явления, которые имеют свойство устойчивости частот соответственно о, можно говорить о величине искау X как о случайной.

Случайные величины"описывающие индивидуальные иски, не является абсолютно произвольными, а имеют определенные свойства V процессе развития актуарной математики были выделены основные типы случайных величин, а адекватно описывают размеры индивидуальных исков к страховой компанимпанії.

211 Дискретные модели индивидуальных исковів

В простейших схемах страхования индивидуальный искX приобретает конечного числа дискретных значений в0 = 0,., Ь

(п

с некоторыми вероятностями р0"девятый""-"9П. Ро;"-"9п. Ро +] ^?. И-1"Напри-

клад, в случае страхования жизни на один год клиент выплачивает страховой компании определенную сумму (премию), а компания обязуется в случае смерти застрахованного в течение года выплатить его потомкамЬ денежных единиц (и не платит ничего, если застрахованный доживет до конца года). Для этого вида страхования индивидуальный иск приобретает двух значений: 0 и. Ь с некоторыми вероятностями р и q = 1 -. Р-. В наших обозначениях. Ро ~. Р в. М=. Я-Таким образом, q - это вероятность смерти человека в течение ближайшего года. Понятно, что она зависит от возраста х застрахованного на момент заключения сделки. Эту вероятность принято обозначатьи qx't ее значения приводятся в таблицах продолжительности жизни.

Более сложной является соглашение страхования, которая учитывает причину смерти. Рассмотрим простейший случай. Человек платит страховой компании определенную сумму, а компания обязуется выплатить потомкам застрахованог го суммуу . Ь. в случае гибели застрахованного в течение года от несчастного случая (например, автомобильной катастрофы) и сумму. Ь в случае смерти застрахованного в течение года от"естественных причин"Как правило,к правило, Ь1Ь2.. Для этого вида страхования индивидуальный искX приобретает трех значений: 0,. Ь и9. Ь2 с некоторыми вероятностями р, qx2 ^. Если возраст застрахованного на момент заключения сделки равна х лет, то вероятностид. Иу д2 связанные с ранее упомянутой вероятностьюдх очевидным соотношением:

Для практических расчетов важны также следующие числовые характеристики индивидуального иска X, как среднеетх ~. МХ дисперсияг - (МХ)2, среднее квадратическое

отклонения ах = * /. Бх и коэффициент вариации сх = -. От--

тпх

в соответствии с общих формул для дискретной случайной вели-

л п

чины, можно записать:. МХ= ^ гь $І и. МХ2 = ^. Ь ^ и-

Для первого примера: / пх =. ВХ ~. Ь2 рд9 $х = ? / рд

Для второго примера: тпх =bxqx + b2q2,

DX =b2qx (l ~ qx) b * q2 (l-q2) - 2bxb2qxq2,

X = 4b2 ^ ~a x) ^ b2q2 (~ q2)-2bxb2 q, q2,

c _ vfrfc (1 ~ 4x) + ftfaO-g2) ~ Zbxb2qxq2 X bxqx+b2q2

Пример 211. Пусть страховая компания выплачивает потомкам в случае смерти клиента от несчастного случая. Ь, = 10 000 грн, а в случае смерти от"естественных причин"Ъичин". Ь2 = 5000 грн. Вероятность смерти в течение года от несчастного случаяqx = 0,004, а вероятность смерти в течение года от"естественных причин"чин" q2 = 0,01. Подсчитаем основные числовые характеристики индивидуального иска::

тх = 10 000 0,004 5000 o 0,01 = 90 (грн),. МХ2 = 108 0,004 25-106 0,01 = 650 000,

DX = 650000-8100 = 641900; ож"801,19;, сх = сх = 8 ° 3 * 19 "8,90;8,90.