Учебники Онлайн


Глава 26 МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТИВНОГО РИСКА

261. Точные и приближенные методы расчета вероятности банкротства

262. Составные пуассоновский и отрицательный биномиальное распределения

Так же, как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного риска анализируется относительно короткий промежуток времени и предполагается, что плата за страховку полностью поступает в начале периода, анализируется. Однако в модели коллективного риска весь портфель заключенных договоров страхования рассматривается как единое целое, без различия отдельных соглашений, составляющих его. Следовательно, модель коллективного риз ику базируется на таких упрощающих предположенияхх:

1) анализируется фиксированный, относительно короткий промежуток времени (следовательно, можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от инвестирования);

2) плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода; никаких новых поступлений в течение этого периода нет;

3) иски ^,. В2, поступающие не связываются с конкретными договорами, а рассматриваются как результат суммарного риска компании есть. В( - это не иск от i-й сделки, а и-и по очередности иск, реально поступил; случайные величины. У, - независимы и одинаково распределены;

4) как основную характеристику портфеля рассматривают не количество заключенных сделок. ТУ, а общее количество исков v за анализируемый период. Случайная величина v и величины. Уи,. В2, - независимые

Многочисленные исследования показали, что реальные данные из практики страхования о количестве исков за фиксированный промежуток времени хорошо описываются с помощью пуассоновского и отрицательного биномиального рас делу (этот факт тесно связан с моделированием процесса исков как пуассоновского процесса.

Второе важное отличие модели коллективного риска модели индивидуального риска заключается в том, что случайные величины. В,,. В2,, описывающие величины последовательных исков, одинаково распределенными. Это предположение означает определенную равноценность исков, связанную с тем, что иски рассматриваются как следствие общего риска компани ее, а не индивидуальных соглашений с их специфическими особенностями. Кроме того, важно подчеркнуть, что случайные величинычини У1 описывают только иски, которые реально поступили, и поэтому в отличие от величин X,, фигурировавших в модели индивидуального риска, строго положительными

В модели коллективного риска банкротстве определяется суммарным иску 5 =. В ^. Ву в страховую компанию. Если этот суммарный иск больше, чем резервы компании и то компания не сможет выполнить свои обязательства и становится банкротом. Поэтому вероятность банкротства компании определяется как

(у"

Д =. Р и (261)

Следует отметить, что в рамках модели коллективного риска также нельзя дать ответ на многие практически важных вопросов. Например, нельзя оценить момент банкротства, величину капитала, которого не выст читателя в этот момент, тощо.

261 Точные и приближенные методы расчета вероятности банкротства

Поскольку вероятность банкротства связана с суммой случайного числа слагаемых, то применяя формулу полной вероятности получим

г V 00( v

. Щи) =. Р]. Гуі а =

И = 1 в п = 0 ^ 1 = 1 у

Обозначим пп =. Р (у = п) - распределение числа исков. Поскольку случайные величины v,. В,Уж, - независимые, а

(v

. Р ^. В, и / у = 0 = 0

4 = 1 у

то

Я (и) =

л = 1 V 1 = 1 /

Вероятности. Р (В. Вя и) можно определить через распределение сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин (формула свертки (232))

Если величина. В4 - непрерывная, то

. М)и л

где / у.... Ув (х) - плотность суммы ^. Уи-Тогда формула (262) будет выглядеть 1 = 1

Д (и) =а (х) =х 71"^ уя (х) - плотность суммарного иска

п = 1

Если величины ^ - дискретные, то

1 = 1) * = и 1

("^

деру 1...+уя( / е)= р еУ и = * o. Ли = и)

Тогда формула (262) примет вид. Д (") =. И. Р, (к)

же, к = и *

где P8 (k)= Јl *"PYt * YmW-распределение суммарного иска

Пример 261. Предполагается, что количество исков за месяц описывается геометрическим распределением с параметрами

с = 0,95 и р = 0,05 есть тс"=. Р (у = п) = 0,95"0,05 iMv = - = 19

P

Иски, поступивших имеют експонециальний распределение со средним 1000 грн. Определить зависимость вероятности банкротства от капитала компании

Для расчетов удобно принять 1000 грн за единицу денежных сумм. Тогда P (Yt *) =!-E ~ *, Jt 0. В подразделе 213 было указано, что суммап независимых случайных величин, имеющих экспоненциальный распределение с параметром X, имеет гамма-распределение с параметрами X и а = п. В нашем случае

хп~1

. Х = 1 назад / в iV (х) = - е 'х, х 0. Далее

/s W =. ЙU it" tri (*) =п 0,05 - ^ -е '=

п 1 п = 1 (п -1) 1

= 0,0475 е-* 051.

CD 00

Итак, R (u) = jf8 (x) dx = 0,0475 - je ^ 'dx = 0,9 5 является"0' 06"

и и

Например, для обеспечения вероятности банкротства на уровне 5% необходимо решить уравнение 0,95 * е ~0' 05ы = 0,05. Решением уравнения будет ц"58,888, то есть 58 888 грн

Для вычисления распределения суммы независимых случайных величин удобно применять специальные функции: генератры-си (для дискретных величин) и преобразования. Лапласа (для произвольных положительных величин). Отметить начи через

генератрису числа исков, а через

Ф (") =. Ф. Уи (с) = | е"*. Ме"г', 8 0

о

преобразования. Лапласа величины поданного иска (поскольку все иски, подаваемые, одинаково распределены р (с) и не зависят от номера и иска). Тогда для преобразования. Лапласа в (с) =. Ме ' суммарного иска имеем:

V (с) =. Ме в (у'+ ™ * пи = (В) / V = ??л) o. Р (V = п) =

" = 0ж (263)

^ ^ (е ^ ^ '^ ^. ФМД я = * (ф (*))

п 0. П = 0

Если индивидуальные иски имеют дискретный распределениерп, то суммарный иск также дискретный распределение. В этом

случае принято работать с генератрисамы

=. Мг. В ( = ^ гпл и. С (г) =. Мг8 а не с преобразованиями. Лапласа

п = о

Аналогом формулы (263) будет следующее соотношение:

О (г) = * 0? (Г)) (264)

Из формулы (263) дифференцированием по 5 в точке 5 = 0 можно получить формулы для математического ожидания. МБ и дисперсии. ЛФ (0) = 1, тс '(1) =. Му, ф' (0) =-М, то

М5 =. МУ-Му (265)

Далее (0) = тс"(ф (0)) - (ф '(О))2 тс '(ф (0))-фя (0). Учитывая, что к" (1) =. Мч (у- 1) =. Му2 -. Му = 1 в (Му)8 -. Му и ф"(0) ==. ЛГУ2 =. Х). У (МУ)2,. В (0) =. М5а =. И 5 (М5)2, получим

(МЯ)2 = (i) (Му)2 -. Му) - (МУ)2. Му o (Х). У (МУ) *)

Тогда учитывая (265), имеем

=2

При описании модели коллективного риска (261) не делалось конкретных предположений о виде распределений количества исков в за анализируемый промежуток времени и величины индивидуального иска. В. Однако, как отмечало. Ося в разделе 22, реальные статистические данные и общие соображения о характере поступления исков показывают, что в хорошо описывается пуассоновским или неотъемлемым биномиальному распределением. Для распределения величины исков. В значительно больше возможностей, но все же класс возможных распределений не очень широкий (дискретные распределения, экспоненциальный распределение, распределение. Парето, гамма-распределение). Специфические предположение ния о характере распределений случайных величин v и. В позволяют установить ряд дополнительных свойств модели коллективного рискзику.