Учебники Онлайн


214 Рандомизация распределений

Идея рандомизации исключительно важна при описании индивидуальных исков с позиции портфеля как единого целого. Рассмотрим, например, портфель с N договоров страхования жизни на один год. В этом случае индивид дуальный иск X,, связан сз и-ю соглашением, приобретает два значения: 0 и 1 с вероятностями р и о / соответственно (здесь мы принимаем величину страховой выплаты как единицу денежных сумм). Если предположить, что параметр q этого распределения одинаков для всех сделок, это будет означать полную статистическую однородность портфеля. Однако на самом деле вероятность иска д зависит от возраста х застрахованного д = дх, и поэтому меняется от иска к иску. Распределим портфель на группы сделок по возрасту застрахованного, пусть N -

.. Ях

количество сделок, владельцы которых имеют возраст х лет, ах = _ ^"-

доля лиц в возрасте х лет среди клиентов компании

Если мы интересуемся индивидуальными исками с позиций портфеля как единого целого, то это означает, что мы рассматриваем наугад выбранную соглашение. Поскольку соглашение выбирается случайно, вероятность иска q от этой сделки также является случайной величиной. Эта величина приобретает конкретное значение q, если владелец выбранной соглашения имеет возраст х лет вероятность этого события равна доле ах лиц в возрастех лет среди клиентов компании

Теперь безусловная вероятность иска может быть определена

как

. Р (был иск / возраст застрахованного = х лет) o. Р (возраст лица = х лет), и поэтому. Р (был иск) =. Р (был иск) = ^ 7х о:х.

x

Выражение в правой части этой формулы можно рассматривать как среднее значение вероятности q, если рассматривать ее как случайную величину, приобретает значениеqx с вероятностью aх.

Таким образом, можно сформулировать общую процедуру. Пусть распределение величины иска F (x) зависит от некоторого параметра 9 и за известного значения 0 = у является распределением известного вида F (x в). Предположим теперь, что параметр 8 в свою очередь является случайной величиной с распределением G (у). Тогда безусловный распределение величины иска такой:

00

F (x) = M0 F (x, 9) = F (x, y) dG (y)

-OD

Эта процедура получения распределения величины иска называется рандомизацией, а последний распределение называется смесью

Операция рандомизации позволяет учесть неоднородность портфеля сделок и естественным образом получить ряд распределений, которые очень хорошо описывают реальные статистические данные. Она дает возможность также по-новому рассмотреть известные классические распределения частности, если величина. В иска, который был подан, имеет экспоненциальный распределение с параметром 9, меняется от сделки к сделке и для наугад выбранной соглашения ю является гамма-распределение с параметрамии X и а. Тогда безусловная плотность является в точности плотностью распределения. Парето с параметрами а и X

215 Моделирование специальных условий договоров страхования

Рассмотрим некоторую договор страхования, за период действия которой может быть дан только один иск. Обозначим через V потери клиента за этот промежуток времени. Рассмотрим также структурова-на модель вида U = JoZ,. Дее / - индикатор события"был несчастный случай", а случайная величина Z описывает распределение потерь клиента при условии, что они действительно были в предыдущих моделях неявно предполагалось, что иск X в страховую компанию подавался на всю величину потерь реальные выплаты страховой компании в случае подачи иска, совпадает с величинойігається з величиною Z в последней модели

Однако реально договора страхования содержат некоторые дополнительные условия, которые приводят к тому, что оплачивается не вся величина убытков, а только некоторая часть. Например, если потери клиента меньше некоторую вел личину си то иск вообще не рассматривается, и если потери клиента превышают порог си то удовлетворяется лишь часть иска, превышающей порог

ГО, если

и-си, если и и. Можно показать, что распределение величины иска. В, был действительно подан, связанный с распределением величины действительных убытковX формуле

Предположим теперь, что соглашение страхования содержит такое условие: потери клиента возмещаются лишь в некоторой суммы. Ь. Иными словами, если потери клиента меньше, чем. Ь, то компания полностью их возмещает, а если потери превышают уровень. Ь то компания возмещает лишь сумму ее. Это условие можно представить с помощью формулы

. Р (Уйх) =

и еслии ее. Ь если и. Ь. Распределение величины иска, был действительно подан, задается формулой

1, если х. Ь

. Р ^ ^ х) якщох. Ь. Пример 213. Размер убытков за аварии автомобиля (при условии, что авария произошла) имеет экспоненциальный распределение со средним значением 10 000 грн. Страховая компания установила верхнюю границу своих в выплат, равна 20 000 гр000 грн.

Вычислим математическое ожидание величины иска, который действительно был подан

Вероятность того, что величина иска. В, который был подан, превышает некоторую величину х:

0, якщолг ^. Ь

Р (

. Р (У х)

. МУ =. Р (У х) йх =. Р (2 х) 1х = |". Иооао. Ле =

о

10 000 - (1-е"2) * 8647 грн

-10 000е, 000 ° 20000

Выводы

1. Введено понятие индивидуального иска. Розгянуто дискретные модели индивидуальных исков, непрерывные модели индивидуальных исков

2. Для того чтобы разделить влияние различных факторов на величину иска, применяются структурированные модели индивидуальных исков

3. Наиболее популярными делениями, которые используются в актуарной математике является равномерное, экспоненциальное, распределение. Парето, гамма-распределение

4. Если параметры распределения могут изменяться, то для подсчета функции распределения индивидуального иска используется процедура рандомизации

5. Также рассмотрены вопросы моделирования специальных договоров страхования (ограниченные суммы возмещения, порог возмещения и т др.)

Учебный тренинг

Основные термины и понятия

Индивидуальный иск; дискретная модель индивидуального иска; числовые характеристики индивидуального иска; индикатор страхового события; структурированная модель индивидуального иска; непрерывная модель индивидуального иска; функция распределения; плотность распределения; равномерное распределение; экспоненциальный распределение, распределение. Парето; гамма-распределение; ран-домизация распределении.